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CÓMO EXPLICAR A LOS HIJOS EL CÁLCULOS DE LIMITES

calculo de limites

calculo de limites

Ejemplo para explicar el cálculo de límites a los hijos

La mejor forma de explicar a los hijos el cálculo de límites es por medio de ejemplos, aunque también es apropiado que entiendan que las indeterminaciones del cálculo límites son las expresiones que al reemplazarlas por x  se obtiene alguna de estas relaciones.     - , 0 . . , 0° , 1, .

Por medio del siguiente ejemplo sencillo, de la indeterminación 0. Puedes explicar a tus hijos una de la formas del cálculo de límites.

Lim    (    x²   .  x + 1 ) =   lim   (x + 1) = – 1

x 0      x – 1     x²          x 0   x – 1

 

En este caso solo es necesario realizar las operaciones propuestas, para llevar a cabo el cálculo de límites.

 

Un ejemplo de la indeterminación   0

0

Lim    x³ – 1  =  lim    (x – 1) (x² + x + 1)    lim     x² + x + 1  = 3

x 1   x² – 1     x 1     (x + 1) ( x – 1)      x 1     x + 1           2

Estos dos ejercicios son apropiados para explicar el tema a tus hijos, pero debes evitar caer en el error de realizar sus ejercicios porque ellos te digan que no entienden, debes estar con ellos y asesorarlos pero no realizar sus obligaciones. Como madre o padre estas en capacidad de tener más paciencia con tus hijos, explicarles las veces que sea necesario.

El secreto de que ellos aprendan es proporcionarles varios ejemplos y también ejercicios para que pongan en para que pongan en práctica lo aprendido sobre el cálculo de límites.

 


CÓMO SE REALIZAN EJERCICIOS CON LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

limites trigonometricos

limites trigonometricos

Cómo enseñar a tus alumnos los límites trigonométricos

Después de que los estudiantes tengan claro el concepto de límites es mucho más sencillo explicarles de que se tratan o como se realizan los ejercicios con limites trigonométricos. Esta clase de limites como su nombre lo dice se pueden resolver por medio de una identidad trigonométrica o también por medio de un límite notable. Aunque si es necesario se pueden aplicar las dos alternativas.

En los ejercicios de limites trigonométricos también se pueden llevar a cabo operaciones como son la suma, resta, multiplicación, factorización o aplicar propiedades de los límites. Entre las clases sean más practicas mucho mejor, para lo cual se pueden realizar ejercicios en grupo o realizar un ejercicio entre todos.

El siguiente ejercicio es apropiado para que lo realices con tus alumnos durante la clase, de forma que a los estudiantes que todavía no han entendido el tema lo comprendan.

Lim       tan 3x     = tan 0= 0   = 0

X →0    3tan 2 x      3. Tan 0      0

 

Como con esta operación sencilla se encontró un resultado indeterminado, se deben realizar otras operaciones para hallar el límite del ejercicio.

 

Para seguir con el ejercicio se va a implementar la siguiente propiedad:

 

 

Sen 3x

tan  = sen           = lim       1         cos 3x

cos             x → o    3          Sen 2x

cos 2x

 

= 1     .   lim      sen3x . cos 2x

3        x→o    cos 3x . sen 2x

 

A continuación vamos a hacer uso de una propiedad de los límites notables, la cual es       lim        sen    = 1

→o

 

x= 1       lim         3       .    cos 2x     .       1         = 1   .  3    .   cos 0   =

3      x→o        2                                 cos 3x       2       2        cos 0

 

R= 1/2

 

CÓMO ENSEÑAR LA DEFINICIÓN DE LÍMITES DE UNA FORMA DIVERTIDA

definicion de limites

definicion de limites

La definición de límites es indispensable a la hora de realizar ejercicios

Los límites son un concepto que muestra la tendencia de una sucesión o una función de una, dos o más variables. Para que sea un límite dicha variable se debe acercar a un determinado valor, por lo general para que un límite adquiera un valor debe estar dentro de un espacio euclídeo.

Una de las primeras cosas que se le debe mostrar a los estudiantes con respecto a la definición de limites es que estos en las formulas se representan por medio de lim o lim() = a y también se representan  por medio de una flecha de la siguiente forma    a, para que así sepan realizar los ejercicios asignados posteriormente con respecto a límites.

Las gráficas son la mejor alternativa para enseñar los límites a los estudiantes, ya que estas son más interesantes que empezar solamente a hablar sobre el tema. Se puede hacer una mezcla entre teoría y gráficas, en las cuales los alumnos más adelante deben determinar el valor de dichos límites.

El ejercicio que vamos a realizar se debe explicar a los estudiantes después de haberles dado la definición, para que así recuerden más el tema y puedan empezar a realizar los ejercicios asignados.

Lim       5x                lim        5x     = 10    = – 10

X → 2    x – 3           X → 2    x – 3     -1

 

Este es un ejercicio sencillo que se puede realizar en clase, con la ayuda de los estudiantes, para de esta forma verificar si entendieron en realidad el tema, también es apropiado graficar el ejercicio para que quede más claro.

 

CÓMO UTILIZAR LA TABLA DE DERIVADAS

tabla de derivadas

tabla de derivadas

Cómo deben utilizar la tabla de derivadas los estudiantes

La tabla de derivadas facilitan mucho el proceso a la hora de realizar ejercicios de esta temática, la idea no es tanto que los estudiantes aprendan todo de memoria, sino que cuando se les presente una actividad tengan la capacidad de realizarla.

La tabla es apropiada tanto para representar las funciones simples como las funciones compuestas, por lo cual es una buena opción en los exámenes que realices a tus alumnos, ya que ellos no único que deben hacer es reemplazar valores de acuerdo al ejercicio asignado.

A continuación vamos a ver una de la tabla de derivadas de las funciones simples para poder aplicar los diferentes ejercicios tanto realizados en clase como en un examen.

Funciones simples

  Función f (x)  Derivada F´(x)
F(x) = k 

F(x) = x

 

F(x) =   þ

 

F(x) = 1n x

 

F(x) =   x

 

F(x) =

 

F(x) =

 

F(x)= g

 

F(x) = sen x

 

F(x) = cos x

 

F(x) = tgx

 

F(x) = arcsen x

 

F(x) = arccos x

 

F(x) = arctg x

 

F(x) = sh x

F(x) = ch x

 

F(x) = th x

 

F(x) = argsh x

 

F(x) = argch x

 

F(x) = th x

F ´(x) = 0 

F ´(x) = 1

 

F ´(x) =

 

F ´(x) =

 

F ´(x) =

 

F ´(x)=

 

F ´(x)=  1n a

 

F ´(x) = h

 

F ´(x) = cos x

 

F ´(x)= – sen x

 

F ´(x) =        1        =  1 + tg² x

x

F ´(x) =        1

F ´(x) =        1

1 + x²

 

F ´(x) =  ch x

F ´(x) =  sh x

 

F ´(x) =   1        = 1 – th² x

ch² x

F ´(x) =     1

F ´(x) =     1

 

F ´(x) =     1

1 – x²

 

 

CÓMO USAR LA TABLA DE INTEGRALES Y PORQUE ES APROPIADA SU UTILIZACIÓN

tabla de integrales

tabla de integrales

Cómo utilizar la tabla de integrales en un examen

Al principio es difícil que los estudiantes se aprendan todas las fórmulas para realizar ejercicios, por medio de la tabla de integrales, los estudiantes van a poder encontrar una herramienta para poder solucionar los problemas de forma sencilla y divertida. La idea no es que ellos se aprendan todo de memoria, sino que sepan utilizar las herramientas existentes para lograr obtener los resultados deseados.

Al realizar un examen la tabla de integrales es una gran herramienta que se les  puede proporcionar a los estudiantes. Ellos deben tener conocimiento previo para saber cómo utilizarla de forma apropiada para resolver los ejercicios asignados en el examen. La idea de realizar un examen es saber si el estudiante tiene el conocimiento necesario y si sabe utilizar las herramientas asignadas, por lo cual dicha tabla es una excelente alternativa.

En la actualidad en los exámenes se permite utilizar calculadora, por ser una herramienta importante que se debe saber utilizar para realizar actividades más rápidamente, lo mismo pasa con la tabla de integrales estas son herramientas apropiadas para realizar los ejercicios de integrales rápidamente y de forma divertida.

A continuación voy a mostrarte algunas fórmulas básicas que están incluidas en las tablas para ser utilizadas tanto en clase como en los exámenes.

-         u du = – cos u + c

-       csc² u du = – cot u + c

-        = in I sec u I + C

 

TRES PASOS APARA RESOLVER EJERCICIOS DE DERIVADAS

ejercicios de derivadas

ejercicios de derivadas

Ejercicios de derivadas resueltos en tres pasos

Cuando se piensa realizar operaciones algebraicas o de cálculo se puede usar ecuaciones para hacer Ejercicios de derivadas; en este artículo se trabajará con derivadas y para ello se realizará un ejercicio en tres pasos. Lo recomendable es que el profesor comience su clase en una forma amigable.

Con el fin de hacer un ejercicio en tres pasos se comienza así: Si se tiene la función Y= x2 + 5 se debe  hallar la derivada esta ecuación  que es:

Y= x+ 5

Y= x2 + 0

Y= 2x + 0

Y´= 2x

Primer paso. Lo primero que se debe hacer para resolver una derivada es analizar con qué método o fórmula se puede realizar el procedimiento requerido, por lo que en este caso se debe usar el método de la suma.

Segundo paso. Como se trata de una suma, se debe realizar la derivada independiente de cada uno de los términos y utilizar las diversas fórmulas que existen para derivar, las cuales en este caso son nx(n-1) para el caso de xy también tener muy presente que la derivada de una constante será igual a 0

Tercer paso. Por último, ya teniendo las derivadas de cada uno de los factores independientemente analizados, se deben unir en una misma ecuación, en forma de suma entre ellos, la cual será el resultado total de derivar la función original. Con esto se terminan los tres pasos de los Ejercicios de derivadas.

 

4 PASOS PARA RESOLVER EJERCICIOS DE INTEGRALES

 

ejercicios de integrales

ejercicios de integrales

Ejercicios de integrales

Es de entender que este artículo se trata de cálculo integral, por ende es de vital importancia que el profesor sea los más explícito y claro posible; cabe mencionar que el profesor debe tener conocimiento amplio de álgebra y cálculo diferencial, puesto que esto le ayudará grandemente.

Los cuatro pasos para resolver Ejercicios de integrales son:

Se toma esta ecuación de

 

 

2

 

1

-

-

 

 

Primer paso. Para el primer paso se realiza la anti-derivada  con la fórmula x(n+1)/ (n+1) sabiendo que en este caso n es igual a 2, ya se tiene el valor resultante de la integral.

Segundo paso para resolver Ejercicios de integrales sabiendo los límites de integración, y aplicando el teorema fundamental del cálculo, se analiza el resultado con “x” igual al límite superior, que en este caso es 2 y luego se le resta el resultado,  tomando a “x”  como el límite inferior, en este caso x=1

Tercer paso. Se realiza las operaciones pertinentes que resultan de analizar con el teorema fundamental del cálculo. Lo más apropiado es realizar los cálculos que resulta de cada valor asociado a “x”  independientemente y luego unirlos en una sola ecuación.

Cuarto paso. Lo único que queda es hacer las últimas sumas o restas pertinentes para hallar la solución final.

Los Ejercicios de integrales, son complicados y se debe colocar todo el dinamismo posible, con el fin de que los estudiantes se sientan entusiasmados con el tema.

 

CÓMO REALIZAR LAS APLICACIÓNES DE LAS INTEGRALES

aplicaciones de la integral

aplicaciones de la integral

Las Aplicaciones de la integral están íntimamente relacionadas con el profesor

Aplicaciones de la integral, Las integrales son lo contraria de las derivadas y se representa por una ese alargada que por ejemplo, la integral de = x, se debe tener en cuenta que todas las integrales comienzan con el símbolo ese alargada y termina con  “dx” que es el diferencial de “x”

La integral de = 6x o la integral de , algo que se debe tener en cuenta es que después de la ecuación se debe escribir una C que es una constante y representa un número cualquiera, ejemplo:

Ahora se debe saber que la integral de un número cualquiera elevado a una potencia, siempre será igual a ese número y a su potencia se le suma uno y esto sobre la potencia más uno, ejemplo: 2 dx = x2+1 = x3  +C

2+1        3

La importancia de la enseñanza radica en dos elementos bien interesantes que son: buscar una explicación de la mejor manera clara, es decir que los alumnos puedan entender, y el segundo elemento en cuanto a las Aplicaciones de la integral es el dinamismo y que estará unido a la importancia del tema.

Por lo anteriormente dicho, el profesor es parte fundamental acerca de que los alumnos se interesen en el aprendizaje. De hecho este no es un tema tan fácil, sin embargo la Aplicaciones de la integral puede lograr mayor acogida si el profesor muestra su importancia

CÓMO REALIZAR LAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

aplicaciones de la derivada

aplicaciones de la derivada

Puntos críticos en las Aplicaciones de la derivada

La Aplicaciones de la derivada es un tema que se maneja en cálculo diferencial, lo primero que debe hacer el profesor es explicar los puntos críticos de las derivadas, por ejemplo, si la derivada de una función es cero, se tiene un punto crítico que es (PC)

f(x)=3x-3x+2 al derivarla queda así:

f´(x)=x3-3x +2

f´(x)=3x2-3

El resultado de la derivada es 3x2-3

f´(x)=3x-1-3x1=0 Aquí se encontró el punto crítico de la derivada. Con este ejemplo se debe recordar que toda derivada de una constante es igual a cero.

El siguiente paso de las Aplicaciones de la derivada es igualar a cero la derivada para que la exposición sea: 3x2-3=0

Ahora se tiene que entrar en el procedimiento de encontrar los valores de x, lo que hacen que se cumpla la igualdad, el primer paso es despejar 3x2. Se advierte que esta es una ecuación de segundo grado, se puede despejar a “x” y encontrar los valores que se están buscando.

X2=3/3

X=+

X1=1, x2=-1 Con esta ecuación tenemos los dos valores de los puntos críticos, los cuales son más uno y menos uno.

En cuanto a las Aplicaciones de la derivada, en el ejemplo mencionado se buscaron dos puntos críticos que fueron satisfechos en más uno y menos uno.

Las derivadas son graficables y el profesor debe llevar a sus alumnos  para que ellos encuentren un sentido de valor en este tipo de cálculo diferencial; con esto entre cejas, se puede colocar dinamismo y hacer que los alumnos se interesen en la clase.

LA MANERA COMO SE FORMAN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

numeros complejos

numeros complejos

Cómo se forman los  Números complejos

Cuando se comienzan a realizar operaciones matemáticas se encuentra la dificultad de no poder encontrar la solución en números reales de ecuaciones como:  y, normalmente se puede elegir un súper-conjunto C, este englobará el conjunto R y el de números generales, en Números complejos.

Por lo anteriormente dicho, los números complejos o imaginarios se representan con la letra C, estos dan soluciones a raíces cuadradas de números negativos, se puede trabajar  y (-2) (-2)= + 4, es decir, daría un número positivo. Se soluciona con el teorema de Unidad imaginaria (i)

La ecuación se trabaja así:  =

2. = 2

Con este ejercicio tenemos resuelta la ecuación y el resultado es un número imaginario; para concluir se puede decir que los Números complejos es la unión de los números imaginarios con los números reales. La importancia en la enseñanza es que el profesor debe ser bien explícito en las raíces negativas.

Con la base sobre estos números, el profesor puede comenzar a explicar todos los procedimientos que se pueden realizar con este tipo de números, desde luego que lo fundamental es que puedan tener bien definido todo lo que se ha tratado de decir en este artículo.

No se puede pasar por alto que los Números complejos están formados por los números reales más lo números imaginarios, los cuales son raíces negativas como por ejemplo , que es la que se tomó como base en el ejemplo.